當事人申請執行涉外仲裁裁決需要以下條件：

1.我國與被申請國之間有相互承認和執行對方國家涉外仲裁機構仲裁裁決的雙邊條約，或者兩國共同參加的國際公約中有相互承認和執行對方國家涉外仲裁裁決的內容或者兩國之間具有互惠關系。

2.我國涉外仲裁機構的仲裁裁決是依符合仲裁法或者當事人選定的仲裁規則規定的仲裁程序作出的，也就是說，涉外仲裁裁決的作出程序是正當的。

3.我國涉外仲裁機構作出的仲裁裁決必須是已經發生法律效力的，并且該涉外仲裁裁決具有執行內容。

4.涉外仲裁裁決所確定的義務人不履行其實體義務時，權利人可以依法直接向有管轄權的外國法院申請強制執行。

5.當事人須提交請求承認與執行涉外仲裁裁決的申請書及其相關文件，如據以執行的生效涉外仲裁裁決書及其譯本，以及按照有關國際條約及被請求國際法律的要求，需要辦理的申請執行手續所需要的文件。